Kreativwerkstatt Mathematik Videopodcast Teil 8

Hallo und herzlich willkommen zum achten Videopodcast der Kreativwerkstatt Mathematik.

Hello and welcome to the eighth video podcast of the Creative Workshop Mathematics.

Heute wollen wir uns mit einem besonderen Dreieck beschäftigen, nämlich dem paschalschen Dreieck.

Today we want to focus on a special triangle, namely Pascal's triangle.

Hier seht ihr das einmal.

Here you see it once.

Das paschalsche Dreieck ist ein Dreieck, an dessen Rändern jeweils Einsen stehen

The Pascal triangle is a triangle where ones are placed at the edges.

und alle anderen Zahlen berechnet man dadurch, dass man die beiden darüber miteinander addiert.

And all other numbers are calculated by adding the two above them together.

Wenn wir uns also das rechte von den beiden gefärbten Kästchen angucken,

So, if we look at the right one of the two colored boxes,

dann stehen darüber die 15 und die 6 und 15 plus 6 ist 21

Then above are the 15 and the 6, and 15 plus 6 is 21.

und beim linken markierten Kästchen haben wir die 21 und die 35 darüber.

And in the left marked box, we have the 21 and the 35 above it.

Und 21 plus 35 ist 56.

And 21 plus 35 is 56.

Die Zahlen, die da also stehen, sind die 21 und die 56.

The numbers that are there are 21 and 56.

So erzeugt man dieses Dreieck.

This is how you create this triangle.

In diesem Dreieck kann man ganz viele verschiedene Dinge finden, zum Beispiel Potenzen.

In this triangle, you can find many different things, for example, powers.

Ihr wisst bestimmt, dass wenn man a plus b zum Quadrat,

You probably know that when you square a plus b,

ausklammert, als Ergebnis a Quadrat plus 2ab plus b Quadrat erhält.

factored out, results in a squared plus 2ab plus b squared.

Aber was ist jetzt a plus b hoch 6, ausgeklammert?

But what is a plus b raised to the 6th power, factored out?

Dafür gucken wir uns wieder das Dreieck an.

For that, let's take a look at the triangle again.

In der Zeile mit der 2 sehen wir eine 1, eine 2 und eine 1.

In the line with the 2, we see a 1, a 2, and a 1.

Und wir haben ja auch für a plus b hoch 2,

And we also have for a plus b squared,

1 mal a Quadrat plus 2 mal a mal b plus 1 mal b Quadrat.

1 times a squared plus 2 times a times b plus 1 times b squared.

Und wenn wir das jetzt auf a plus b hoch 6 übertragen,

And if we now transfer that to (a plus b) to the power of 6,

dann ist das 1 mal a Quadrat.

Then it is 1 time a square.

Die nächste Zahl in der Zeile ist die 6, also 6 mal a hoch 5 mal b.

The next number in the line is 6, so 6 times a to the power of 5 times b.

Als nächstes kommt eine 15, also plus 15 a hoch 4 mal b Quadrat.

Next comes a 15, so plus 15 a to the power of 4 times b squared.

Dann kommt eine 20, also plus 20, a hoch 3 mal b hoch 3.

Then comes a 20, so plus 20, a cubed times b cubed.

Dann wieder die 15, plus 15 a Quadrat mal b hoch 4,

Then again 15, plus 15 times a squared times b to the power of 4,

plus 6 mal a mal b hoch 5 und plus 1 mal b hoch 6.

plus 6 times a times b to the power of 5 and plus 1 times b to the power of 6.

Wir können also solche Potenzen, wenn wir die ausklammern wollen,

So we can factor out such powers if we want to.

immer im paschalschen Dreieck ablesen.

always read in Pascal's triangle.

Aber es gibt noch mehr.

But there is even more.

Es gibt mehrere Sachen im Dreieck.

There are several things in the triangle.

Zum Beispiel rechnet man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gerne mit Fakultäten.

For example, in probability theory, it is common to work with factorials.

Also dieses Ausrufungszeichen hinter dem n bedeutet n Fakultät.

So this exclamation mark behind the n means n factorial.

Und das heißt einfach, dass wir alle Zahlen bis n miteinander multiplizieren.

And that simply means that we multiply all the numbers up to n together.

Also 1 mal 2 mal 3 mal 4 und so weiter bis n.

So 1 times 2 times 3 times 4 and so on up to n.

Zum Beispiel 5 Fakultät, das wäre dann 1 mal 2.

For example, 5 factorial would then be 1 times 2.

2 mal 3 mal 4 und mal 5.

2 times 3 times 4 and times 5.

Und das ist dann 120.

And that is then 120.

Und wenn wir Wahrscheinlichkeiten berechnen wollen,

And if we want to calculate probabilities,

dann benutzen wir oft die Formel n über k.

Then we often use the formula n over k.

Also das ist das n und das k in den Klammern ohne Bruchstrich.

So that's the n and the k in the parentheses without a fraction line.

Und das ist dann genau n Fakultät durch n minus k Fakultät mal k Fakultät.

And that is then exactly n factorial divided by n minus k factorial times k factorial.

Das Ausrechnen müsst ihr nicht.

You don't have to do the calculations.

Ihr müsst nur lediglich versuchen, die Ergebnisse für die Beispiele gleich im Dreieck zu finden.

You just need to try to find the results for the examples directly in the triangle.

Wir haben zum Beispiel 5 über 3 ist laut Formel ja 5 Fakultät mal 5 minus 3 Fakultät mal 3 Fakultät.

For example, we have 5 over 3, which according to the formula is 5 factorial multiplied by 5 minus 3 factorial multiplied by 3 factorial.

Also 1 mal 2 mal 3 mal 4 mal 5 durch 1 mal 2 mal 1 mal 2 mal 3.

So 1 times 2 times 3 times 4 times 5 divided by 1 times 2 times 1 times 2 times 3.

Das ist wiederum 120 durch 2 mal 6.

That is, in turn, 120 divided by 2 times 6.

Das ist 120 durch 12 und das ist ja 10.

That is 120 divided by 12, and that is 10.

Wir haben hier ein paar Beispiele.

We have a few examples here.

5 über 3 ist wie gesagt 10.

5 over 3 is, as I said, 10.

7 über 2 ist 21.

7 over 2 is 21.

8 über 3 ist 56.

8 over 3 is 56.

8 über 5 ist ebenfalls 56.

8 over 5 is also 56.

6 über 0 ist 1.

6 over 0 is 1.

6 über 6 ist auch 1.

6 over 6 is also 1.

6 über 1 ist 6.

6 over 1 is 6.

Und 6 über 3 ist 20.

And 6 over 3 is 20.

Und all diese Zahlen findet ihr auch im Dreieck.

And you will find all these numbers in the triangle as well.

Und zwar an ganz bestimmten Stellen.

Namely at very specific points.

Vielleicht findet ihr ja heraus, wo diese sind.

Maybe you'll find out where they are.

Und noch mehr.

And even more.

Und zwar die dritte Diagonale des paschalschen Dreiecks beinhaltet die Dreieckszahlen.

And indeed, the third diagonal of Pascal's triangle contains the triangular numbers.

Die werden halt sogar...

They will even...

Die sind hier markiert.

They are marked here.

Das sind die 1, die 3, die 6, die 10, die 15, 21, 28 und so weiter.

These are the 1, the 3, the 6, the 10, the 15, 21, 28 and so on.

Findet heraus, wie man diese Zahlen ohne das Dreieck berechnen könnte.

Find out how to calculate these numbers without the triangle.

Also was an ihnen so besonders ist.

So what is so special about them.

Ihr könnt euch jetzt aussuchen, was ihr sein wollt.

You can now choose what you want to be.

Entweder seid ihr eher die Problemlöser.

Either you are more the problem solvers.

Ihr tretet also in die Fußstapfen vorheriger Mathematikerinnen und Mathematiker.

You are, therefore, following in the footsteps of previous female and male mathematicians.

Und versucht die gestellten Aufgaben und die auf dem Aufgabenblatt zu lösen.

And try to solve the tasks and those on the task sheet.

Oder ihr seid eher Problemfinder.

Or you are more like problem finders.

Ihr versucht also neue Probleme zu finden.

So you are trying to find new problems.

Vielleicht findet ihr noch mehr Besonderheiten im Dreieck.

Maybe you'll find even more peculiarities in the triangle.

Oder ihr denkt euch ein anderes Muster mit Zahlen aus.

Or you come up with another pattern using numbers.

Zum Beispiel ein Quadrat.

For example, a square.

Und findet dort Besonderheiten heraus.

And discovers peculiarities there.

Das war's für heute. Bis zum nächsten Mal.

That's it for today. Until next time.